Kekegunaan aljabar linear dalam kehidupan sehari-hari

Nama : Meza Yeni Aprianti

Npm : 4010092

Prodi : MATEMATIKA

Kegunaan aljabar linear dalam kehidupan sehari-hari

1. Dalam perpindahan penduduk aljabar linear dapat digunakan untuk menghitung presentase penduduk yang bertempat tinggal di kota dan daerah pinggiran kota sesudah 1 tahun.

Misalkan jumlah penduduk keseluruhan dari suatu daerah metropolitan yang besar adalah relatif tetap, tetapi setiap tahun 6% dari penduduk yang bertenpat tinggal di kota pindah ke daerah pinggiran kota, dan 2% dari penduduk yang bertempat tinggal di daerah pinggiran kota pindah ke kota. Jika pada awalnya 30% dari populasi keseluruhan bertempat tinggal di kota dan 70% bertempat tinggal di daerah pinggiran kota, akan berapakah persentase-persentase ini sesudah 10 tahun? 30 tahun? Dan 50 tahun?

Penyelesaian:

Kita tetapkan

dan x₀ =

Maka persentase penduduk yang bertempat tinggal di kota dan daerah pinggiran kota sesudah 1 tahun dapat ditentukan dengan menetapkan x₁= Ax_0. Persentase-persentase ini sesudah 2 tahun dapat ditentukan dengan menetapkan x₂ = A²x_0. Pada umumnya persentase-persentase ini sesudah n tahun akan diberikan oleh x_n = Aⁿx₀. Jika kita menghitung persentase-persentase ini untuk n=10, 30, dan 50 tahun dan bulatkan ke persentase yang terdekat maka kita peroleh:

x₁₀ = x₃₀ = x₅₀ =

sebenarnya jika n bertambah, maka barisan vektor x_n = Aⁿx₀ akan konvergen ke limit x =(0,25 , 0,75)^T. Vektor limit x disebut vektor kondisi tunak (steady state vector) untuk proses tersebut.

2. Dalam bidang industri aljabar linear dapat digunakan untuk menghitung biaya produksi total.

Misalnya Suatu perusahaan menghasilkan tiga produk. Biaya produksinya dibagi dalam tiga kategori. Pada setiap kategori ini diberikan suatu taksiran untuk biaya produksi untuk suatu barang dari masing-masing produk. Dibuat juga suatu taksiran untuk jumlah dari masing- masing produk yang akan dihasilkan untuk setiap kuartal. Taksiran-taksiran ini diberikan dalam table 3 dan 4. Perusahaan tersebut ingin menyajikan pada rapat pemegang saham satu table yang menunjukkan biaya total untuk setiap kuartal dalam masing-masing dalam ketiga kategori : bahan mentah, tenaga kerja dan biaya tambahan (overhead).

Table 3

Biaya Produksi Per Barang (dollar)

Biaya	Produk
	A	B	C
Bahan mentah	0,10	0,30	0,15
Tenaga kerja	0,30	0,40	0,25
Biaya tambahan Dan serbaneka	0,10	0,20	0,15

Table 4

Jumlah yang Dihasilkan PerKuartal

Produk	Musim
	Panas	Gugur	Dingin	Semi
A	4000	4500	4500	4000
B	2000	2600	2400	2200
C	5800	6200	6000	6000

Penyelesaian .

Mari kita tinjau masalah tersebut dinyatakan dalam matriks. Masing-masing dari kedua tabel dapat dinytakan oleh matriks.

M = , dan

P =

Jika kita membuat hasil MP , maka kolom dari pertama MP akan menyatakan biaya untuk musim panas.

Bahan mentah : (0,10) (4000) + (0,30) (2000) + (0,15) (5800) = 1870

Tenaga kerja : (0,30) (4000) + (0,40) (2000) + (0,25) (5800) = 3450

Biaya tambahan

Dan serbaneka : (0,10) (4000) + (0,20) (2000) + (0,15) (5800) = 1670

Biaya musim gugur diberikan dalam kolom kedua dari MP.

Biaya mentah : (0,10) (4500) + (0,30) (2500) + (0,15) (6200) = 2160

Tenaga kerja : (0,30) (4500) + (0,30) (2500) + (0,15) (6200) = 3940

Biaya tambahan

Dan serbaneka : (0,10) (4500) + (0,20) (2500) + (0,15) (6200) = 1900

Kolom 3 dan 4 dari MP menyatakan biaya-biaya untuk musim dingin dan musim semi

MP =

Entri-entri dalam baris 1 dari MP menyatakan biaya total dari bahan mentah untuk setiap musim. Entri-entri dalam baris 2 dan 3 masing-masing menyatakan biaya total untuk tenaga kerja dan biaya tambahan , untuk setiap musim. Biaya tahunan untuk setiap kategori dapat diperoleh dengan cara menjumlahkan entri-entri dalam setiap baris. Angka-angka dalam setiap kolom dapat dijumlahkan untuk memperoleh biaya produksi total untuk setiap musim. Table 5 meringkaskan biaya produksi total.

Tabel 5

	Musim
	Panas	Gugur	Dingin	Semi	Tahun
Bahan mentah	1.870	2.160	2.070	1.960	8.060
Tenaga kerja	3.450	3.940	3.810	3.580	14.780
Biaya tambahan Dan serbaneka	1.670	1.900	1.830	1.740	7.140
Biaya produksi total	6.990	8.000	7.710	7.280	29.980